Regazzoni pár nappal a második világháború kitörése után, 1939. szeptember 5-én született Mendrisióban, Svájc legdélebbi csücskében, az olaszul beszélő térségben. Meglehetősen későn, 24 évesen kezdett versenyezni, eleinte klubszinten, majd formaautókra váltva, végigjárva az F3-as és F2-es Európa-bajnokságokat.
Karrierjének legjobb éve talán az 1970-es volt, amikor is megnyerte a Formula-2-es bajnoki címet, közben pedig a Ferrarival az F1-ben is bemutatkozott. Igaz, egész szezont nem teljesített, a csapat ugyanis csak a negyedik versenytől állította ki második autóját, ahol eleinte két versenyző cserélgette egymást, Regazzoni eredményei azonban olyan meggyőzőek voltak, hogy végül szezon végéig maradhatott. A 31 éves újonc már ötödik versenyén, Monzában (egy nappal születésnapja után) megszerezte első futamgyőzelmét, a szezon végelszámolását pedig összetett harmadikként zárta, annak ellenére, hogy a versenyek kétharmadán vett csak részt. Ehhez foghatóra csak kevesen voltak képesek a sportág történetében – ekkor úgy nézett ki, nagy jövő áll Regazzoni előtt, az ígéretet azonban végül nem sikerült beváltani.
Még két évet töltött a Ferrarival, a nagydíjakat sportautó-versenyekkel megspékelve, a siker azonban elkerülte, a korán megszerzett győzelmet nem tudta megismételni, csak a bajnokságon kívüli Bajnokok Versenyét nyerte meg Brands Hatchben. 1973-ban csapatot váltott, a BRM-hez igazolt, de ez a próbálkozás kudarcba fulladt, következő évben ismét a Ferrarinál volt. Követte csapattársa, Niki Lauda is, akit ő maga ajánlott be Enzo Ferrarinak – mint kiderült, ez lett a veszte.
Ha pusztán a végeredményt nézzük, 1974 volt a legjobb éve, Regazzoni a szezon utolsó versenyéig küzdött a bajnoki címért, melyet végül három ponttal veszített el Emerson Fittipaldival szemben. A kiváló eredmény oka a stabil szereplésben és a többiekhez képest kevés kiesésben keresendő, Regazzoni ugyanis csupán egy versenyt nyert – még mindig csak pályafutása második elsőségénél tartott.
A svájci versenyző sosem tudott egy szezonban egynél több futamon győzni: 1975-ben (megint Monzában) és 1976-ban is nyert egyet-egyet, valamint egy újabb bajnokságon kívüli versenyen, a Franciaországban rendezett Svájci Nagydíjon is győzött, de ezekben az években már csak másodhegedűs lehetett a Ferrarinál, amely Niki Laudára építette a csapatot. Regazzonit az argentin Carlos Reutemannra cserélték, távozásakor ő volt az a versenyző, aki a legtöbb időt töltötte Maranello szolgálatában, ebben a tekintetben később csak Michael Schumacher szárnyalta túl.
Karrierje hátralevő részét kisebb csapatoknál teljesítette, egy szezont húzott le az Ensign és Shadow alakulatoknál, kevesebb sikerrel, 1979-ben azonban egy utolsó erős év adatott meg neki, mikor a sikerek útját megkezdő Williamshez csatlakozott. Az az elévülhetetlen megtiszteltetés is Regazzoninak jutott, hogy ő szerezze meg a legelsőt az istálló 114 futamgyőzelme közül.
A Williamsnél is csak egyetlen szezon jutott ki neki, ismét Reutemann volt az, akire a választás a veterán svájci helyett esett. 40 évesen Regazzonit továbbra is hajtotta a versenyszellem, így újra csatlakozott az Ensignhoz. Az év elején, Long Beachen fékhiba miatt száguldott ki a pályáról, ahol eltalált egy félrehúzódott autót, majd a betonfalba csapódott. A versenyző gerincsérülést szenvedett. Formula-1-es pályája azonnal véget ért, és azt gondolnánk, a kerekesszékbe kényszerült svájci autóversenyen sem indult újra. Az akarat azonban mindennél erősebb volt: a Dakar Ralin és a sebringi 12 órás versenyen is felbukkant később. Úttörő volt azon versenyzők között, akik súlyos baleset után, kizárólag kézi irányítású autókkal visszatértek a pályára.
Clay Regazzoni 67 éves korában, 2006-ban hunyt el autóbalesetben Olaszországban.
